Question

1．如图：已知，△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，BD为角平分线，矩形DEFG的顶点E在AB上，边FG在BC上，CG=2
（1）线段BG=2$\sqrt{3}$；
（2）如图①，请在线段BD和线段BC上分别找一点M、N，使GM+MN最小，并求出GM+MN长度的最小值；
（3）如图②，连接FD，点O为FD的中点，经过点O是否存在一条直线l，分别交线段AB和BC于点P、Q，并且使△PBQ的面积最小？若存在，请画出这条直线，并求出△PBQ面积的最小值和线段PQ的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先证明△DGC是等腰直角三角形，在Rt△BDG中，解三角形即可解决问题．
（2）如图①中，作点G关于BD的对称点K，过K作KN⊥BC于N交BD于M，此时MG+MN=MK+MN=KN，根据垂线段最短可知，此时GM+MN最短．只要证明△KBG是等边三角形即可．
（3）存在．如图2中，PQ交DE于M．首先证明S_△PQB=S_△BEG+S_△PEM，由此可知，△PEM的面积最小时，△BPQ的面积最小，所以P、E重合时，△PBQ面积最小，此时直线l就是直线EG．

解答 解：（1）∵四边形EFGD是矩形，
∴∠DGB=∠DGC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠GDC=∠C=45°，
∴DG=GC=2，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBG=30°，
∴BD=2GD=4，BG=$\sqrt{B{D}^{2}-D{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

（2）如图①中，作点G关于BD的对称点K，过K作KN⊥BC于N交BD于M，此时MG+MN=MK+MN=KN，根据垂线段最短可知，此时GM+MN最短．

∵∠GBK=60°，BG=BK，
∴△BGK是等边三角形，KN是高，
∴KN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3}$=3．
∴GM+MN长度的最小值为3．

（3）存在．如图2中，PQ交DE于M．

∵O是EG、DF的交点，
∴EO=OG，OM=OQ，
∴S_△EOB=S_△OBG，S_△EMO=S_△OGQ，
∴S_△PQB=S_△PEM+S_{四边形EMQB}=S_△PEM+S_{四边形EBQO}+S_△EMO=S_△PEM+S_{四边形EBQO}+S_△OQG=S_△BEG+S_△PEM，
∵△BEG的面积为定值，∴△PEM的面积最小时，△BPQ的面积最小，
∴P、E重合时，△PBQ面积最小，此时直线l就是直线EG，
∴△BEG的面积最小值=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、解直角三角形、矩形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会利用对称，解决最值问题，属于中考压轴题．