Question

【题目】林场要建一个果园（矩形ABCD），果园的一面靠墙（墙最大可用长度为30米），另三边用木栏围成，中间EF也用木栏隔开，分为甲、乙两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），木栏总长57米．设果园（矩形ABCD）的宽AB为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求果园能达到的最大面积S及相应x的值．

（3）若木栏BF比CF多10米，其余条件不变，甲场地种植葡萄，一季平均每平方米收益40元；乙场地种植益莓，一季平均每平方米收益160元．问该果园一季能达到的最大收益W为多少元？

Answer 1

【答案】（1）S=﹣3x2+60x ，10≤x＜20（2）300m2（3）24000元

【解析】

（1）由AB=x得出BC=60﹣3x，再根据矩形的面积公式可得函数解析式；

（2）将（1）中所得函数解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可；

（3）由BC=60﹣3x且木栏BF比CF多10米得出BF=+5=35﹣1.5x，CF=﹣5=25﹣1.5x，根据“总收益=葡萄总收益+益莓总收益”列出函数解析式，继而利用二次函数的性质求解可得．

（1）由题意可知，∵AB=x，

∴BC=60﹣3x．

∴S=x（60﹣3x）=﹣3x2+60x．

由BC=60﹣3x≤30，且60﹣3x＞0，

可得自变量x的取值范围是：10≤x＜20．

（2）因为S=﹣3x2+60x=﹣3（x﹣10）2+300，

所以x=﹣=10m时，S最大值=300m2．

（3）∵BC=60﹣3x，即BF+CF=60﹣3x，

∴BF=+5=35﹣1.5x，CF=﹣5=25﹣1.5x．

∴W=40x（35﹣1.5x）+160x（25﹣1.5x）

=﹣300x2+5400x （10≤x＜），

x=﹣=9，但不在取值范围内，

由函数增减性可知，当x=10m时，W最大=24000元．

答：该果园一季能达到的最大收益W为24000元．