Question

如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，利用已知条件可以求出OD，BD，也就求出B的坐标；
（2）根据待定系数法把A，B，O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；
（3）设存在点C（x，x²+x），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，这样可以得到S_△OBC=x²+x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，
∴点B的坐标为（）．（1分）

（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得（2分）
解方程组，有a=，b=，c=0．（3分）
∴所求二次函数解析式是y=x²+x．（4分）

（3）设存在点C（x，x²+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大
∵△OAB面积为定值，
∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）
而|CF|=y_C-y_F=x²+x-x=-x²+x，
∴S_△OBC=x²+x．（7分）
∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．（8分）
此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．（9分）
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形变换、解直角三角形、利用二次函数探究不规则图形的面积最大值重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．