Question

小明同学将直角三角形顶点置于抛物线y=-（x-1）²顶点位置，且两直角边与抛物线相交于A，B两点，已知A（-2，-9），则B点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：设抛物线y=-（x-1）²的顶点为D，由二次函数的性质可得D（1，0），设B点的坐标为（x，y），则y=-（x-1）²．由△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，根据勾股定理得AB²=AD²+BD²，即（x+2）²+（y+9）²=3²+9²+（x-1）²+y²，整理得，x+3y-1=0，再将y=-（x-1）²代入，得x-3（x-1）²-1=0，解方程求出x的值，进而得到B点的坐标．

解答：解：设抛物线y=-（x-1）²的顶点为D，则D（1，0），设B点的坐标为（x，y），则y=-（x-1）²．
∵△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴AB²=AD²+BD²，
∵A（-2，-9），D（1，0），B（x，y），
∴（x+2）²+（y+9）²=3²+9²+（x-1）²+y²，
整理得，x+3y-1=0，
∵y=-（x-1）²，
∴x-3（x-1）²-1=0，
∴3（x-1）²-（x-1）=0，
∴（x-1）（3x-3-1）=0，
∴x=1或

4

3

，
当x=1时，y=0，与D点重合，舍去，
当x=

4

3

时，y=-

1

9

，
∴B点的坐标为（

4

3

，-

1

9

）．
故答案为（

4

3

，-

1

9

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．