Question

19．如图，已知半圆O的直径AB=4，点P是半圆上不与点A、B重合的动点，延长AP到点D，使AP=PD，连接BD，点C是BD的中点，连接OP、OC、PC．
（1）求证：四边形AOCP是平行四边形；
（2）填空：
①当AP=2时，四边形AOCP是菱形；
②当AP=2$\sqrt{2}$时，四边形OBCP是正方形．

Answer 1

分析 （1）先判断出PC是△ABD的中位线，即可得出四边形AOCP是平行四边形；
（2）①借助（1）的结论，得出平行四边形AOCP要是菱形则有邻边相等，即AP=OA即可；
②同（1）的方法先判断出四边形OBCP是平行四边形，由OP=OB得出平行四边形OBCP是菱形，要使菱形是正方形则有∠BOP=90°，最后用勾股定理即可求出AP的值．

解答 解：（1）∵点C是BD的中点，
∴CD=CB，
∵AP=PD，
∴PC是△ABD的中位线，
∴PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB，
∴PC=OA，
∵PC∥OA，
∴四边形AOCP是平行四边形；
（2）①由（1）知，四边形AOCP是平行四边形，
∵四边形AOCP是菱形，
∴AP=OA=2，即：AP=2时，四边形AOCP是菱形，
故答案为=2；

②∵点C是BD的中点，
∴CD=CB，
∵AP=PD，
∴PC是△ABD的中位线，
∴PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB，
∴PC=OB，
∵PC∥OB，
∴四边形OBCP是平行四边形，
∵OP=OB，
∴平行四边形OBCP是菱形，
∴只要∠BOP=90°时，菱形OBCP是正方形，
∴∠AOP=90°，
∵OA=OP，
∴AP=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
故答案为=2$\sqrt{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行四边形的判断，菱形的性质和判定，正方形的直线，解（1）的关键是得出PC∥AB，PC=$\frac{1}{2}$AB，解（2）的关键是得出四边形OBCP是菱形．