Question

如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OBA的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是   　．

Answer 1

试题分析：∵点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，∴点B₁是△OBA的重心，也是内心。

∴∠BOB₁=30°。

∵△OB₁A₁是等边三角形，∴∠A₁OB=60°+30°=90°。

∵每构造一次三角形，OB_i 边与OB边的夹角增加30°，

∴还需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合。

∴构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀。

如图，过点B₁作B₁M⊥OB于点M，

∵，

∴，即。

∴，即。

同理，可得，即。

…，

∴，即构造出的最后一个三角形的面积是。