Question

如图等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动
（1）求AD的长；
（2）设CD=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形来求解：过A作AE⊥CD于E．那么可在直角三角形AED中根据两底的差和∠D的度数来求出AD的长．
2）可通过求△PDQ的面积与x的函数关系式来得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD边上的高=QD•sin60°，由此可根据三角形的面积公式求出S_△PQD与x之间的函数关系式，可根据函数的性质求出S的最大值以及对应的x的值．

解答：解：（1）如图1
过A作AE⊥CD，垂足为E．
依题意，DE=

9-4

2

=

5

2

．
在Rt△ADE中，AD=

DE

cos60°

=

5

2

×2=5；
（2）如图1
∵CP=x，h为PD边上的高，依题意，
△PDQ的面积S可表示为：
S=

1

2

PD•h=

1

2

（9-x）•x•sin60°
=

3

4

（9x-x²）
=-

3

4

（x-

9

2

）²+

81 3

16

．（0≤x≤5）
∴a=-

3

4

＜0，
∴当x=

9

2

时（满足0≤x≤5），S_最大值=

81 3

16

．

点评：本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．