Question

7．观察下列二次根式的化简
S₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$$-\frac{1}{2}$，
S₂=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=（1$+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$）+（1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）
S₃=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=（1$+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$）+（1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（1$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）
则$\frac{{S}_{2016}}{2016}$=$\frac{2018}{2017}$．

Answer 1

分析 先分别计算：①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…④$\sqrt{1+\frac{1}{201{5}^{2}}+\frac{1}{201{6}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，再依次计算S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₁₆的值，从而得出结论．

解答 解：∵$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，
$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
∴$\sqrt{1+\frac{1}{201{5}^{2}}+\frac{1}{201{6}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，
∴S₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$$-\frac{1}{2}$，
S₂=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=（1$+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$）+（1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$），
S₃=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（1$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$），
…
∴S₂₀₁₆=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（1$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（1$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（1+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）+（1+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=2016+1-$\frac{1}{2017}$，
=2016+$\frac{2016}{2017}$，
∴则$\frac{{S}_{2016}}{2016}$=$\frac{2016+\frac{2016}{2017}}{2016}$=1+$\frac{1}{2017}$=$\frac{2018}{2017}$．

点评 本题是二次根式的化简求值，也是利用简便算法进行计算的问题；考查了学生理解能力和相反数的意义；根据已知所给的式子找规律并进行计算，还利用了互为相反数的和为零化简求值．