Question

4．如图，三角形ABC，AB=BC，∠ABC=90°，∠1=∠2=∠3，
（1）如果BE=4，DC=2，求AD；
（2）如果AB=2，三角形AEF是等腰三角形，求AD．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△EBD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求得ED，根据SAS证得△ABE≌△CBD，即可得到AE=CD=2，∠BAE=∠BCD=45°，即可证得△ABE是直角三角形，根据勾股定理即可求得AD；
（2）通过三角形内角和定理求得∠AEF=∠AFE=67.5°，即可得到∠BFD=∠AFE=67.5°，同理求得∠ABD=67.5°，然后根据三角形内角和定理求得∠ABD=∠ADB=67.5°，根据等角对等边即可求得AD=AB=2．

解答 （1）解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠3=90°，
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1+∠ABD=∠EBD=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠2+∠EDB=∠ADB=∠3+∠ACB，
∴∠EDB=∠ACB=45°，
∴△EBD是等腰直角三角形，
∴BE=BD=4，
∴ED=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
在△ABE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠1=∠3}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD=2，∠BAE=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，
∴AD=$\sqrt{E{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4{\sqrt{2}）}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）解：∵∠BAE=45°，三角形AEF是等腰三角形，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∴∠BFD=∠AFE=67.5°，
∵∠EDB=45°，
∴∠ABD=67.5°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ADB=67.5°，
∴∠ABD=∠ADB=67.5°，
∴AD=AB=2．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．