Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,平行四边形的性质

专题：综合题

分析：（1）有抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）．由与y轴交于点C（0，-3），则代入易得解析式，顶点易知．
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC，S_△ABC=

1

2

•AB•OC，则结论易得．
（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC
=

1

2

•（3+4）•1+

1

2

•2×4-

1

2

•3•3
=

7

2

+

8

2

-

9

2

=3
S_△ABC=

1

2

•AB•OC=

1

2

•4•3=6，
∴S_△BCM：S_△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：
①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴-3=x²-2x-3，
解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），
∴Q（2，-3）．
②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x²-2x-3，
解得 x=1+

7

或x=1-

7

，
∴Q（1+

7

，3）或（1-

7

，3）．
综上所述，Q点为（2，-3）或（1+

7

，3）或（1-

7

，3）

点评：本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．