Question

（2010•西城区二模）已知：关于x的一元二次方程-x²+（m+4）x-4m=0，其中0＜m＜4．
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；
（2）设抛物线y=-x²+（m+4）x-4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式；
（3）已知点E（a，y₁）、F（2a，y₂）、G（3a，y₃）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y₁、y₂、y₃，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△≥0的前提下，用求根公式进行计算即可．
（2）根据（1）的结果可得出A、B的坐标，然后求出AD、BD的长，代入AD•DB=10中，即可求得m的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）分别将E、F、G的坐标代入抛物线的解析式中，可得出含a的y₁、y₂、y₃的表达式，进而判断出y₁、y₂、y₃的等量关系．
解答：解：（1）将原方程整理，得x²-（m+4）x+4m=0，
△=b²-4ac=[-（m+4）]²-4（4m）=m²-8m+16=（m-4）²＞0
∴；
∴x=m或x=4；（2分）

（2）由（1）知，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的交点分别为（m，0）、（4，0），
∵A在B的左侧，0＜m＜4，
∴A（m，0），B（4，0）．
则AD²=OA²+OD²=m²+2²=m²+4，BD²=OB²+OD²=4²+2²=20；
∵AD•BD=10，
∴AD²•BD²=100；
∴20（m²+4）=100；（3分）
解得m=±1；（4分）
∵0＜m＜4，
∴m=1
∴b=m+1=5，c=-4m=-4；
∴抛物线的解析式为y=-x²+5x-4；（5分）

（3）答：存在含有y₁、y₂、y₃，且与a无关的等式，
如：y₃=-3（y₁-y₂）-4（答案不唯一）；（6分）
证明：由题意可得y₁=-a²+5a-4，y₂=-4a²+10a-4，y₃=-9a²+15a-4；
∵左边=y₃=-9a²+15a-4；
右边=-3（y₁-y₂）-4=-3[（-a²+5a-4）-（-4a²+10a-4）]-4
=-9a²+15a-4；
∴左边=右边；
∴y₃=-3（y₁-y₂）-4成立．（7分）
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法、二次函数与坐标轴交点的求法、二次函数解析式的确定等知识．