Question

【题目】抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．

（1）求D点坐标；

（2）若∠PBA=∠OBC，求点P的坐标；

（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，﹣3）（2）P（﹣， ）；（3）（﹣2﹣1，1）．

【解析】（1）抛物线的解析式为y=（x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得点D的坐标；

（2）在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB与点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．首先证明EF=EB=4，然后证明△FGE∽△COE，依据相似三角形的性质可得到FG=，EG=，故可得到点F的坐标，然后可求得BP的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．

解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，

∴y=（x+4）（x﹣2）=（x2+2x﹣8）=（x+1）2﹣3．

∴D（﹣1，﹣3）．

（2）如图1，在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

∵点E与点B关于y轴对称，

∴∠OBC=∠OEC．

∴∠OBC=∠GEF．

∵∠PBA=∠OBC，

∴∠PBA=∠EFB．∴EF=EB=4．

∵OE=2，OC=，∴EC=．

∵GF∥OC，∴△FGE∽△COE．

∴==，即==，

解得：FG=，EG=，

∴F（﹣， ）．

设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得： ，

解得：k=﹣，b=1，

∴直线BP的解析式为y=﹣x+1．

将y=﹣x+1与y=x2+x﹣联立，

解得：x=﹣，x=2（舍去），

∴y=．

∴P（﹣， ）；

（3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由得： x2+（﹣k）﹣﹣k=0

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∵点M是线段PQ的中点，

∴由中点坐标公式的点M（k﹣1， k2）．

假设存在这样的N点如图2，

直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由，

解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．

∵四边形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（）2+k2+3）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=±，

∵k＜0，

∴k=﹣，

∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）．

∴PM=DN=2，

∵PM∥DN，

∴四边形DMPN是平行四边形，

∵DM=DN，

∴四边形DMPN为菱形，

∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）．

“点睛”本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，求得点F的坐标是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键.