【题目】如图,和是的半径,并且,是上任一点,的延长线交于点,过点的的切线交延长线于点.
求证:;
若,试求的长.
【答案】(1)证明见解析; (2).
【解析】
(1)要证明RP=RQ,需要证明∠PQR=∠RPQ,连接OQ,则∠OQR=90°;根据OB=OQ,得∠B=∠OQB,再根据等角的余角相等即可证明;
(2)延长AO交圆于点C,首先根据勾股定理求得BP的长,再根据相交弦定理求得QP的长即可.
(1)证法一:
连接OQ.
∵RQ是⊙O的切线,∴∠OQB+∠BQR=90°.
∵OA⊥OB,∴∠OPB+∠B=90°.
又∵OB=OQ,∴∠OQB=∠B,∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ,∴RP=RQ.
证法二:
作直径BC,连接CQ.
∵BC是⊙O的直径,∴∠B+∠C=90°.
∵OA⊥OB,∴∠B+∠BPO=90°,∴∠C=∠BPO.
又∵∠BPO=∠RPQ,∴∠C=∠RPQ.
又∵RQ为⊙O的切线,∴∠PQR=∠C,∴∠PQR=∠RPQ,∴RP=RQ.
(2)解法一:
作直径AC.
∵OP=PA=1,∴PC=3.
由勾股定理,得:BP==.
由相交弦定理,得:PQPB=PAPC,即PQ×=1×3,∴PQ=.
解法二:
作直径AE,过R作RF⊥BQ,垂足为F,设RQ=RP=x;
由切割线定理,得:x2=(x﹣1)(x+3)
解得:x=.
∵∠BOP=∠RFP=90°,∠BPO=∠RPF,∴△BPO∽△RPF,∴,∴PF=,由等腰三角形性质得:PQ=2PF=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+m过点A(5,—2)且分别与x轴、y轴交于点B、C,过点A画AD//x轴,交y轴于点D.
(1)求点B、C的坐标;
(2)在线段AD上存在点P,使BP+ CP最小,求点P的坐标.
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【题目】如图,将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°,得到平行四边形AB′C′D′,若点B′恰好落在BC边上,则∠DC′B′的度数为( )
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
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【题目】某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价和销售价如表所示:
类别/单价 | 成本价 | 销售价(元/箱) |
甲 | 24 | 36 |
乙 | 33 | 48 |
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?
(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?
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【题目】如图,BE=CF,AB∥DE,添加下列哪个条件不能证明△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. ∠A=D C. AC=DF D. AC∥DF
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【题目】如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.
(1)如图①,,,是三个格点(即小正方形的顶点),判断与的位置关系,并说明理由;
(2)如图②,连接三格和两格的对角线,求的度数(要求:画出示意图,并写出证明过程).
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【题目】如图(1),在ABC中,,BC=9cm, AC=12cm, AB=15cm.现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边ACCBBA运动,回到点A停止,速度为3cm/s,设运动时间为t s.
(1)如图(1),当t=______时,△APC的面积等于△ABC面积的一半;
(2)如图(2),在△DEF中,,DE=4cm, DF=5cm, . 在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着ABBCCA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好,求点Q的运动速度.
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【题目】某校为更好地开展“传统文化进校园”活动,随机抽查了部分学生,了解他们最喜爱的传统文化项目类型(分为书法、围棋、戏剧、国画共4类),并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方图.
最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
根据以上信息完成下列问题:
(1)直接写出频数分布表中a的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校共有学生1500名,估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人?
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【题目】从某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试,成绩记为1分,2分,3分,4分四个等级,将调查结果绘制成如下的不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息.
(1)求共抽取多少名学生;
(2)求抽取的所有学生成绩的众数,中位数;
(3)求抽取的所有学生成绩的平均数.
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