Question

已知：点G、F分别是等腰△ABC、等边△ADE底边的中点，∠BAC=∠DAE=∠α，点P是线段CD的中点．
（1）如图一，当D和E分别在AB和AC边上时，请直接写出∠GPF与∠α的关系．（无需证明）
（2）当△ADE绕过点A旋转到如图二的位置时，（1）问中的关系是否成立？如果成立请证明．如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根据G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，可得出PG∥BD，PF∥CE．则∠GPF=180°-∠α；
（2）连接BD，连接CE，由已知可证明△ABD≌△ACE，则∠ABD=∠ACE．因为G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，则PG∥BD，PF∥CE．进而得出∠GPF=180°-∠α．

解答：解：（1）∠GPF=180°-∠α；
理由：∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α，
即∠GPF=180°-∠α；

（2）∠GPF=180°-∠α．
理由：连接BD，连接CE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵G、P、F分别是BC、CD、DE的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α，
即∠GPF=180°-∠α．

点评：本题主要考查旋转的性质和全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，是一个变式训练题，难度偏大．