Question

6．如图，在平面直角坐标系，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，边长为4，点N是边BC的中点，点D是OC的中点．
（1）正方形OABC的对角线OB的长为4$\sqrt{2}$，DN的长为2$\sqrt{2}$；
（2）直线OB的解析式为y=x；
（3）求直线AD与直线OB的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求OB，再利用中位线性质求DN；
（2）设直线OB的解析式为y=kx，把点B的坐标代入即可；
（3）求直线AD的解析式与直线OB的解析式组成方程组求出．

解答 解：（1）由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵点N是边BC的中点，点D是OC的中点，
∴DN是△OBC的中位线，
∴DN=$\frac{1}{2}$OB=2$\sqrt{2}$；
故答案为：4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$；
（2）由题意得：B（4，4），
设OB的解析式为：y=kx，
把点B（4，4）代入得：4=4k，
k=1，
∴OB的解析式为：y=x，
故答案为：y=x；
（3）设直线AD的解析式为：y=kx+b，
把A（0，4）、D（2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=-2x+4，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AD与直线OB的交点坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，是常考题型，学生要熟练掌握；再求两直线交点坐标时，可转化为求方程组的解．