Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为(2，9)，与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；

（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，线段PD最长？并求出最大值；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（请直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）x＝时，PD的最大值为；（3）点M(3，8)或(1，8)．

【解析】

（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立PD的函数关系式，即可求解；

（3）方法1、先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．

方法2、四边形AENM是平行四边形时，由于知道点E和点N的横坐标，进而得出点E平移到点N时，先向右平移3单位，进而判断出点A到点M向右先平移3个单位，求出点M的横坐标，代入抛物线解析式，即可求出点M坐标，判断出点A再向上平移3个单位得出点M，即可求出点N坐标；四边形AEMN是平行四边形时，同上方法即可得出结论

解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a+9＝5，

∴a＝﹣1，

y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，

（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

设直线AB的解析式为y＝mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m＝﹣1，n＝5，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；

设P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，

x＝时，PD的最大值为：；

（3）方法1、如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，

∵MN∥AE，MN＝AE，

∴△HMN≌△AOE，

∴HM＝OE＝1，

∴M点的横坐标为x＝3或x＝1，

当x＝1时，M点纵坐标为8，

当x＝3时，M点纵坐标为8，

∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），

∵A（0，5），E（﹣1，0），

∴直线AE解析式为y＝5x+5，

∵MN∥AE，

∴MN的解析式为y＝5x+b，

∵点N在抛物线对称轴x＝2上，

∴N（2，10+b），

∵AE2＝OA2+OE2＝26

∵MN＝AE

∴MN2＝AE2，

∴MN2＝（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2＝1+（b+2）2

∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），

∴点M1，M2关于抛物线对称轴x＝2对称，

∵点N在抛物线对称轴上，

∴M1N＝M2N，

∴1+（b+2）2＝26，

∴b＝3，或b＝﹣7，

∴10+b＝13或10+b＝3

∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），

当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

方法2，如图2，

∴E（﹣1，0），A（0，5），

∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

∴点N的横坐标为2，即：N'（2，0）

①当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AENM时，

∵E（﹣1，0），点N的横坐标为2，（N'（2，0）

∴点E到点N向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位，

∵四边形AENM是平行四边形，

∴点A向右也平移3个单位，

∵A（0，5），

∴M点的横坐标为3，即：M'（3，5），

∵点M在抛物线上，

∴点M的纵坐标为﹣（3﹣2）2+9＝8，

∴M（3，8），即：点A再向上平移（8﹣5＝3）个单位，

∴点N'再向上平移3个单位，得到点N（2，3），

即：当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

②当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AEMN时，

同①的方法得出，当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）；

综上，点M（3，8）或（1，8）．