Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx与x轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线y=kx-6k经过点A、B两点，且tan∠BAO=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为t，连接OP，交对称轴于点C，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D，连接PD，设线段PD的长为d，求d与x之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点E在线段BC上，连接EP，交BD于点F，点G是BE的中点，过点G作GQ∥x轴，交PE的延长线于点Q，当∠OPQ=2∠AOP，且EF=PF时，求点P、Q的坐标，并判断此时点Q是否在（1）中的抛物线上．

Answer 1

分析 （1）过点B作BC⊥OA垂足为C．令y=0可求得点A的坐标，由抛物线的对称性可得到AC=3，然后依据锐角三角形函数的定义可得到BC的长，从而得到点B的坐标；将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得a、b的值，于是可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AB的解析式，设P的坐标为（t，-t²+6t），可求得直线OP的解析式为y=（-t+6）x，接下来，求得点C的纵坐标，从而得到D点的纵坐标为-3t+18．接下来将点D点的纵坐标代入直线AB的解析式可求得点D的横坐标，然后根据P点和D点的横坐标相同，可至PD的长等于P、D两点的纵坐标之差；
（3）延长PQ交y轴于点H，过点P作PM∥x轴．先证明∠PMH=∠PMO，于是可证明△PHM≌△POM，由全等三角形的性质可得到HM=OM，设P（a，-a²+6a），则H（0，-2a²+12a）．接下来，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得点E的纵坐标为，由中点坐标公式可求得F的坐标（用含a的式子表示），将F的坐标代入直线AB的解析式可求得a的值，于是可求得点P的坐标、PH的解析式、点E的坐标，然后依据中点坐标公式可求得点G的坐标，从而得到点Q的纵坐标，然后将点Q的纵坐标代入PH的解析式可求得点Q的横坐标，于是可求得点Q的坐标，最后将点Q的坐标代入抛物线的解析式即可作出判断．

解答 解：（1）如图1所示：过点B作BC⊥OA垂足为C．

令y=0得：kx-6k=0，
∵k≠0，
∴x=6．
∴A（6，0）．
∵抛物线经过O（0，0）、A（6，0）且B为抛物线的顶点，
∴AC=3．
∵tan∠BAO=3，
∴BC=9．
∴B（3，9）．
∵将B（3，9）、A（6，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=9}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得：b=6，a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+6x．
（2）如图2所示：

设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=9}\end{array}\right.$，解得：b=18，k=-3，
∴直线AB的解析式为y=-3x+18．
设P的坐标为（t，-t²+6t），OP的解析式为y=kx．
∵将点P的坐标代入得：tk=-t²+6t，解得：k=-t+6，
∴OP的解析式为y=（-t+6）x．
∵将x=3代入OP得解析式得：y=-3t+18，
∴C（3，-3t+18）．
∵CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为-3t+18．
∵将y=-3t+18代入直线AB的解析式得：-3t+18=-3x+18，
∴x=t．
∴D（t，-3t+18）．
∴d=-t²+6t-（-3t+18）=-t²+9t-18．
如图3所示：延长PQ交y轴于点H，过点P作PM∥x轴．

∵PM∥x轴，
∴∠MPO=∠AOP．
∵∠OPQ=2∠AOP，
∴∠HPM=∠OPM．
又∵PM⊥y轴，
∴∠PMH=∠PMO．
在△PHM和△POM中$\left\{\begin{array}{l}{∠HPM=∠OPM}\\{PM=PM}\\{∠PMH=∠PMO}\end{array}\right.$，
∴△PHM≌△POM．
∴HM=OM．
设P（a，-a²+6a），则H（0，-2a²+12a）．设PH的解析式为y=kx-2a²+12a．
∵将点P的坐标代入得：ka-2a²+12a=-a²+6a，解得：k=a-6，
∴直线PH的解析式为y=（a-6）x-2a²+12a．
∵将x=3代入PH得解析式得y=-2a²+15a-18，
∴点E的纵坐标为-2a²+15a-18．
∵F是EP的中点，
∴F_y=$\frac{-2{a}^{2}+15a-18-{a}^{2}+6a}{2}$=-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9，F_x=$\frac{3+a}{2}$．
∵将F_x=$\frac{3+a}{2}$代入AB的解析式得：F_y=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，
∴-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，整理得：a²-8a+15=0，解得a=5或a=3（舍去）．
∵当a=5时，-a²+6a=-25+30=5，
∴点P的坐标为（5，5）．
∵a=5，
∴直线PH的解析式得y=-x+10．
∵将a=5代入-2a²+15a-18得：-2a²+15a-18=-2×25+15×5-18=7，
∴点E的坐标为（3，7）．
∵点G为BE的中点，
∴点G的坐标为（3，8）．
∵QG∥x轴，
∴点Q的纵坐标为8．
∵将y=8代入y=-x+10得：-x+10=8，解得：x=2，
∴点Q的坐标为（2，8）．
∵将x=2代入y=-x²+6x得：y=-4+12=8，
∴Q是在（1）中的抛物线上．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，函数与坐标轴的交点、全等三角形的性质和判定，设出点P的坐标，然后用含a的式子表示相关直线的解析式、以及点F的坐标是解题的关键．