Question

18．如图．△ABC是⊙O的内接等边三角形，P是劣弧AB上一动点（P与A，B两点都不重合），连接PA，PB，PC．
（1）证明：∠APC=∠BPC；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）假设该⊙O的半径为2，由A，P，B，C四点组成的四边形的面积有最大值吗？若有，请求出这个最大面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠BAC=60°，再根据圆周角定理得∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，所以∠APC=∠BPC；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）直接利用正三角形的性质以及结合P点到AB的距离最大时，则以A，P，B，C四点组成的四边形的面积有最大值，进而得出答案．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠BPC；

（2）解：PA+PB=PC，
理由：如图1，在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠BCF}\\{∠APB=∠BFC}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）如图2所示，过点O作OE⊥BC于点E，取$\widehat{AB}$的中点P，连接AP，BP，OP，OC，
当P在$\widehat{AB}$中点时，此时P点到AB的距离最大，此时△APB的面积最大，
则四边形APBC的面积最大，
∵⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，
∴CO=2，则EO=1，EC=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{3}$×3=3$\sqrt{3}$，
∵EO=1，可得FO=1，则PF=1，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$×1×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴由A，P，B，C四点组成的四边形的面积有最大值为：3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了圆的综合题以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识，正确利用正三角形的性质是解题关键．