Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；

（2）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．

①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） A(-3，0)；（2）时， . （3）t的值为或.

【解析】试题分析：（1）由直线y＝x+9与x轴，y轴分别交于B，C两点，分别令x=0和y=0求出B与C的坐标，又抛物线经过B，C两点，把求出的B与C的坐标代入到二次函数的表达式里得到关于b，c的方程，联立解出b和c即可求出二次函数的解析式．又因A点是二次函数与x轴的另一交点令y=0即可求出点A的坐标．
（2）连接OM，PM与⊙O′相切作为题中的已知条件来做．由直径所对的圆周角为直角可得∠OMC=90°从而得∠OMB=90°．又因为O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP得到OP为⊙O′的切线，然后根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得OP=PM，根据等边对等角得∠POM=∠PMO，然后根据等角的余角相等可得∠PMB=∠OBM，再根据等角对等边得PM=PB，然后等量代换即可求出OP的长，加上OA的长即为点P运动过的路程AP，最后根据时间等于路程除以速度即可求出时间t的值．
（3）①由路程等于速度乘以时间可知点P走过的路程AP=3t，则BP=15-3t，点Q走过的路程为BQ=3t，然后aa过点Q作QD⊥OB于点D，证△BQD∽△BCO，由相似得比列即可表示出QD的长，然后根据三角形的面积公式即可得到S关于t的二次函数关系式，然后利用t=-时对应的S的值即可求出此时的最大值．
②要使△NCQ为直角三角形，必须满足三角形中有一个直角，由BA=BC可知∠BCA=∠BAC，所以角NCQ不可能为直角，所以分两种情况来讨论：第一种，当角NQC为直角时，利用两组对应角的相等可证△NCQ∽△CAO，由相似得比例即可求出t的值；第二种当∠QNC=90°时，也是证三角形的相似，由相似得比例求出t的值．

试题解析：（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．∴C（0，9），B（12，0）．
又抛物线经过B，C两点，∴，解得： ，∴

令y=0，解得：A(-3，0)

（2）①过点Q作QD⊥OB于点D．

∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴
∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴，解得
又

∴（0＜t＜5）

当时， .

②存在△NCQ为直角三角形的情形.

∵BC=BA=15， ∴∠BCA=∠BAC，即∠NCQ=∠CAO

∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.

如图,当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△COA，∴ ，∴，解得： ；

当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO

∴△NQC∽△OCA，∴ ，∴，解得：t=.

综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为或.