Question

应用规律，解决问题
（1）．定义：a为不等于1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1-2

=

1

-1

=-1，-1的差倒数是

1

1-(-1)

=

1

2

，已知a1=-

1

3

，
①a₂是a₁的差倒数，则a₂=

3

4

．
②a₃是a₂的差倒数，则a₃=

4

．
③a₄是a₃的差倒数，则a₄=

-

1

3

．
④以此类推，a₂₀₁₁=

-

1

3

．
（2）．我们知道：

1

2

×

2

3

=

1

3

，

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，…，

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

，试根据上面规律，
计算：(

1

19

-1)(

1

20

-1)(

1

21

-1)…(

1

2011

-1)．

Answer 1

分析：（1）理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
（2）利用

1

2

×

2

3

=

1

3

，

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，…，

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

规律得出答案即可．

解答：解：（1）根据差倒数定义可得：①a2=

1

1-a1

=

1

1+ 1 3

=

3

4

，
②a3=

1

1-a2

=

1

1- 3 4

=4，
③a4=

1

1-a3

=

1

1-4

=-

1

3

．
④显然每三个循环一次，又2011÷3=670余1，故a₂₀₁₁和a₁的值相等，
∴a₂₀₁₁=-

1

3

，
（2）(

1

19

-1)(

1

20

-1)(

1

21

-1)…(

1

2011

-1)．
=-

18

19

×（-

19

20

）×（-

20

21

）…（-

2010

2011

），
=-

18

2011

．
故答案为：①

3

4

，4，③-

1

3

，④

3

4

，

点评：此题主要考查了数字规律，此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．