Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=2∠B，点E是BC边上的一点，ED⊥AB于D，且ED=EC．求证：BE=2EC．

Answer 1

证明：如图，在△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=2∠B，
∴∠B+2∠B+90°=180°，
∴∠B=30°，∠BAC=60°，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，且ED=EC，
∴AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∵∠BAE=∠CAE=30°，
∴AE=BE，
在Rt△ACE中，∵∠CAE=30°，
∴AE=2EC，AE=BE，
∴BE=2EC．
分析：先根据“∠C=90°，∠BAC=2∠B”求出∠B的度数是30°，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可得AE是∠BAC的角平分线，求出∠BAE=30°，然后根据等角对等边的性质得出AE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可证明．
点评：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，根据图形进行边的转换是解题的关键，对识图能力有一定的要求．