Question

【题目】阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，CD是△ABC的高，

尺规作图：在线段CD上求作点P，使∠APB＝45°（保留作图痕迹，写出作法），

请回答：你推出∠APB＝45°的依据是 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

Answer 1

【答案】作图及作法见解析；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【解析】

先作出AB的垂直平分线GH交AB于E，然后在GH上截取EF=AE，则有∠AFB=90°，再以F为圆心，AF的长为半径画圆交CD于一点即为点P，根据圆周角定理可得出∠APB=∠AFB=45°．

解：如图，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH截取EF=AE；
（4）以点F为圆心，AF的长为半径画圆交CD于点P．

则点P即为所求．

由作法可知GH垂直平分AB，AE=EF=BE，得到∠AFB=90°，

∴根据圆周角定理得到∠APB=∠AFB=45°．
故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．