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    二次函数y＝﹣x2＋2x＋m的图象与x轴交于A.B两点（B在A右侧），顶点为C，且A.B两点间的距离等于点C到x轴的距离的2倍.

    （1）求此抛物线的解析式.

    （2）求直线BC的解析式.

    （3）若点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴以及直线BC都相切，求点P的坐标.

    【提示：（＋1）（－1）＝1】

     

    【答案】

    （1）y＝﹣x2＋2x 

    （2）y＝﹣x＋2 

    （3）解：设点P（1，n），过点P作PD⊥BC，则PC＝n，∴1－n＝n，∴n＝－1，∴点P（1，－1）.

    【解析】(1)由抛物线解析式可知y＝﹣x2＋2x＋m的顶点横坐标为1，则纵坐标为m+1，根据A.B两点间的距离等于点C到x轴的距离的2倍可得解得m=0，所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x  ；

    （2）点B坐标为（2,0），点C坐标为（1,1），可用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x＋2  ；

     

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    （1）证明：①S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3

    ②xC·xD＝－yH

    （2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S△CMD：S梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由。

    （3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y＝x2改为y＝ax2（a＞0），其他条件不变，那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。

     

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