Question

19．如图，△ADB、△BCD均为等边三角形，顶点A、C均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上，若点A的坐标是（1，a），则点C的横坐标为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，利用等边三角形的性质、特殊角的三角函数值以及点A的横坐标求出a的值，得到反比例函数的解析式，设BC=b，根据特殊角的三角函数值及等边三角形的性质求出BF的长，进一步求出C点横坐标．

解答 解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．
∵△AOB为等边三角形，点A的坐标是（1，a），
∴OE=1，OB=2OE=2，AE=OE•tan60°=$\sqrt{3}$=a，
∴A点坐标为（1，$\sqrt{3}$），
将A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
设BC=b，则BF=$\frac{1}{2}$b，CF=bsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
则C点坐标为（2+$\frac{1}{2}$b，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
将C（2+$\frac{1}{2}$b，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
得（2+$\frac{1}{2}$b）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\sqrt{3}$，
解得b=-2+2$\sqrt{2}$或b=-2-2$\sqrt{2}$（负值舍去），
∴BF=-1+$\sqrt{2}$．
∴点C的横坐标为2+（-1+$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，三角函数定义等知识．此题难度适中，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．