Question

4．我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于AO²-BO²的值，可记为AB△AC=AO²-BO²．

（1）在图1中，若∠BAC=90°，AB=8，AC=6，AO是BC边上的中线，则AB△AC=0，OC△OA=7；
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，求AB△AC、BA△BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AO是BC边上的中线，点N在AO上，且ON=$\frac{1}{3}$AO．已知AB△AC=14，BN△BA=10，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）①先根据勾股定理求出BC=10，再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5，最后利用新定义即可得出结论；
②再用等腰三角形的性质求出CD=3，再利用勾股定理求出OD，最后用新定义即可得出结论；
（2）①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2，OB=2$\sqrt{3}$，再用新定义即可得出结论；
②先构造直角三角形求出BE，AE，再用勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；
（3）先构造直角三角形，表述出OA，BD²，最后用新定义建立方程组求解即可得出结论．

解答 解：①∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC=10，
∵点O是BC的中点，
∴OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AB△AC=AO²-BO²=25-25=0，
②如图1，
取AC的中点D，连接OD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵OA=OC=5，
∴OD⊥AC，
在Rt△COD中，OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∴OC△OA=OD²-CD²=16-9=7，
故答案为0，7；

（2）①如图2，取BC的中点O，连接AO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABC=30°，
∴AO=2，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB△AC=AO²-BO²=4-12=-8，
②取AC的中点D，连接BD，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E，
在Rt△ABE中，∠BAE=180°-∠BAC=60°，
∴∠ABE=30°，
∵AB=4，
∴AE=2，BE=2$\sqrt{3}$，
∴DE=AD+AE=4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
∴BA△BC=BD²-CD²=24；

（3）如图3，
设ON=x，OB=OC=y，
∴BC=2y，OA=3x，
∵AB△AC=14，
∴OA²-OB²=14，
∴9x²-y²=14①，
取AN的中点D，连接BD，
∴AD=DN=$\frac{1}{2}$AN=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$OA=ON=x，
∴OD=ON+DN=2x，
在Rt△BOD中，BD²=OB²+OD²=y²+4x²，
∵BN△BA=10，
∴BD²-DN²=10，
∴y²+4x²-x²=10，
∴3x²+y²=10②
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$（舍），
∴BC=4，OA=3$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AO=6$\sqrt{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解（1）的关键是求出OD，解（2）的关键是BD，解（3）的关键是用方程组的思想解决问题，是一道很好的新定义题目．