Question

10．如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，弧AC的度数为100°弧BC=2弧BD，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为（　　）

• A． R
• B． $\sqrt{2}$R
• C． $\sqrt{3}$R
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$R

Answer 1

分析 作点D关于AB的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，求出弧BC的度数，再求出弧BD的度数，从而得到弧CD′的度数，连接OD′，过点O作OE⊥CD′，然后根据垂径定理求解即可．

解答 解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，
由轴对称确定最短路线问题，CD′与AB的交点即为所求的点P，CD′的长度为PC+PD的最小长度，
∵弧AC的度数为100°，
∴弧BC的度数为180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度数=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴弧CD′的度数=80°+40°=120°，
连接OD′，过点O作OE⊥CD′，
则∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=$\sqrt{3}$R．
故选C．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握最短路线的确定方法，找出点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．