Question

如图，点l是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC外切圆于点D，交BC边于点E．
（1）求证：lD=BD．
（2）若

BE

AB

=

2

3

，lE=2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∴弧BD=弧CD，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠ABI+∠BAD，
∴∠CBI+∠DBC=∠DIB
即∠DBI=∠DIB，
∴ID=BD．

（2）∵∠DBC=∠CAD，
又∵∠BAD=∠CAD
∴∠DBC=∠BAD，
又∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB
∴

DE

BD

=

BD

AD

=

BE

AB

=

2

3

，
设DE=2a，则BD=3a，
则AD=

9

2

a
∵ID=BD，
∴IE=ID-DE=3a-2a=2，
∴a=2，
∴AD=9．