Question

【题目】如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）.

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

要求面积不变且要经过点E，我们可以假设这一直线已经作出，观察可以发现，实际上是将△EDC进行等积变换，此时只要连接EC，利用尺规作图过点D作EC的平行线，交EN于点F，交CM于点G，再连接EG，利用两平行线间的距离处处相等，可得S△ECG=S△ECD，问题即得解决.

解：画法如图1所示（连接EC，以ED为一边作∠EDF=∠DEC）．

图1 图2

如图2，连接EG，由作图知∠EDF=∠DEC，所以DF∥EC，设直线DF交EN于点F，交CM于点G，则线段EG即为所求直路的位置.

理由如下：如图2，

∵EC∥FG，

∴D和G点到EC的距离相等（平行线间的距离处处相等），

又∵EC为公共边，

∴S△ECG=S△ECD（同底等高的两三角形面积相等），

∴S五边形AEDCB= S四边形ABCE+S△ECD=S四边形ABCE+ S△ECG，S五边形EDCMN=S四边形EGMN．

即EF为直路的位置，可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.