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如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.
(1)DE与半圆O相切吗?若相切,请给出证明;若不相切,说明理由;
(2)如果AD,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,试求直角边BC的长;
(3)试在(1)(2)的基础上,提出一个有价值的问题(不必解答).
(1)DE与半圆O相切.
证明:连接OD,BD,
∵AB是半圆O的直径,
∴∠BDA=∠BDC=90°.
∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点,
∴DE=BE=
1
2
BC,得∠EBD=∠BDE.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,故DE与半圆O相切.

(2)∵BD⊥AC,
∴Rt△ABDRt△ACB.
AB
AC
=
AD
AB

即AB2=AD•AC.
∴AC=
AB2
AD

∵AD,AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根,
∴解方程得x1=4,x2=6.
∵AD<AB,
∴AD=4,AB=6.
∴AC=
AB2
AD
=
62
4
=9.
又∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=9,
∴BC=
AC2-AB2
=
81-36
=3
5


(3)问题1:求四边形ABED的面积;
问题2:求两个弓形的面积;
问题3:求
AD
BD
的值.
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