Question

已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．
（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OP=x，AD=y，当x为何值时，y取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的宽为3即可得出C的坐标为（0，3）．当E落在BC边时，四边形OPEC和四边形PADF均为正方形的性质，那么OP=PE=OC=3，PA=PF=AD=1．因此P的坐标为（3，0），D的坐标为（4，1）．然后根据P，C，D三点的坐标，用待定系数法求出过P、C、D三点的抛物线的解析式．
（2）根据折叠的性质可得出∠CPO=∠CPE，∠FPD=∠APD．由此可得出∠CPD=90°，由此不难得出Rt△POC∽Rt△DAP，可根据线段OC、OP、PA、AD的比例关系，得出关于x，y的函数关系式．根据关系式即可得出y的最大值以及对应的x的值．
（3）可分两种情况进行讨论：
①当PQ是另一条直角边，即∠DPQ=90°时，由于∠DPC=90°，且C在抛物线上，因此C与Q重合，Q点的坐标即为C点的坐标．
②当DQ是另一条直角边，即∠PDQ=90°时，那么此时DQ∥PC．如果将PC所在的直线向上平移两个单位，即可得出此时DQ所在直线的解析式．然后联立直线DQ的解析式以及抛物线的解析式组成方程组，如果方程组无解，则说明不存在这样的Q点，如果方程组有解，那么方程组的解即为Q的坐标．
综合上述两种情况即可得出符合条件的Q的坐标．

解答：
解：（1）由题意知，△POC，△PAD均为等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），
设过此三点的抛物线为y=ax²+bx+c（a≠0），
则

c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=1

，
∴

a= 1 2 b=- 5 2 c=3

，
∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=

1

2

x²-

5

2

x+3．

（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，则∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，
∴∠OPC=∠ADP．
∴Rt△POC∽Rt△DAP．
∴

OP

AD

=

OC

AP

即

x

y

=

3

4-x

∵y=

1

3

x（4-x）
=-

1

3

x²+

4

3

x
=-

1

3

（x-2）²+

4

3

（0＜x＜4）
∴当x=2时，y有最大值

4

3

．

（3）假设存在，分两种情况讨论：
①当∠DPQ=90°时，由题意可知∠DPC=90°，且点C在抛物线上，
故点C与点Q重合，所求的点Q为（0，3）
②当∠QDP=90°时，过点D作平行于PC的直线DQ，假设直线DQ交抛物线于另-点Q，
∵点P（3，0），C（0，3），
∴直线PC的方程为y=-x+3，将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合，
∴直线DQ的方程为y=-x+5．
由

y=-x+5 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
得

x=-1 y=6

或

x=4 y=1

．
又点D（4，1），∴Q（-1，6），故该抛物线上存在两点Q（0，3），（-1，6）满足条件．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．