Question

【题目】在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析：

（1）由已知条件易得BE=DF且BE∥DF，从而可得四边BFDE是平行四边形，结合∠EDB=90°即可得到四边形BFDE是矩形；

（2）由已知易得AB=5，由AF平分∠DAB，DC∥AB可得∠DAF=∠BAF=∠DFA，由此可得DF=AD=5，结合BE=DF可得BE=5，由此可得AB=8，结合BF=DE=4即可求得tan∠BAF=.

详解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵AE=CF，

∴BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）在Rt△BCF中，由勾股定理，得

AD =，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB．

∵AF平分∠DAB

∴∠DAF=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA，

∴DF=AD=5,

∵四边形BFDE是矩形，

∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，

∴AB=AE+BE=8，

∴tan∠BAF=．