Question

【题目】已知：如图，BE、BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F，EF分别交边AB、AC于点M和N．求证：
（1）四边形AFBE是矩形；
（2）MN=BC．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵BE、BF分别是△ABC中∠B及它的外角的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E为垂足，AF⊥BF，F为垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四边形AEBF为矩形；
（2）∵四边形AEBF为矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5，
∴ME∥BC，
∵M是AB的中点，
∴N为AC的中点，
∴MN=BC．

【解析】（1）由BE、BE是角平分线可得∠EBF是90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形AEBF是矩形；
（2）由矩形的F质可得∠2=∠5进而利用角平分线的性质可得∠1=∠5，可得ME∥BC，进而可得N为AC中点，根据三角形中位线性质求出即可．
【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能正确解答此题．