Question

9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、DC上，且△BEF为等边三角形．下列结论：①DE=DF；②∠AEB=75°；③AE+CF=EF；④BE=$\sqrt{2}$DE；⑤△EDF与△BFC的面积比为2：1．其中正确的结论有4个．

Answer 1

分析 先证明△ABE≌△CBF，得到AE=CF，∠ABE=∠CBF=15°可以推出①②④正确，设正方形边长为b，DE=DF=a，则EF=BF=$\sqrt{2}$a，在RT△BCF中，利用BF²=BC²+CF²，求出a、b关系即可判定③错误，⑤正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠D=90°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF，∠EBF=60°，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠ABE=∠CBF，
∴DE=DF，故①正确，
∠ABE=∠CBF=$\frac{1}{2}$（（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=75°，故②正确，
∵DE=DF，∠D=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$ED，
∴BE=$\sqrt{2}$DE，故④正确．
设正方形边长为b，DE=DF=a，则EF=BF=$\sqrt{2}$a，
在RT△BCF中，
∵BF²=BC²+CF²，
∴2a²=b²+（b-a）²，
∴a²+2ab-2b²=0，
∴a=（-1±$\sqrt{3}$）b，
∵a＞O，
∴a=（$\sqrt{3}$-1）b，
∴AE=CF=（2-$\sqrt{3}$）b，
∵AE+CF≠b，故③错误．
∵S_△DEF：S_△BCF=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{3}$-1）b]²：$\frac{1}{2}$•b•（2-$\sqrt{3}$）b=2，故⑤正确，
故答案为4．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．