Question

8．在平面直角坐标中，抛物线y=ax²-3ax-10a（a＞0）分别交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且OB=OC．

（1）求a的值；
（2）如图1，点P位抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（t＞0），连接AC、PA、PC，△PAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，设对称轴l交x轴于点H，过P点作PD⊥l，垂足为D，在抛物线、对称轴上分别取点E、F，连接DE、EF，使PD=DE=EF，连接AE交对称轴于点G，直线y=kx-$\frac{8}{3}$k（k≠0）恰好经过点G，将直线y=kx-$\frac{8}{3}$k沿过点H的直线折叠得到对称直线m，直线m恰好经过点A，直线m与第四象限的抛物线交于另一点Q，若$\frac{PD}{FD}$=$\frac{5}{8}$，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x轴交点坐标，再用OB=OC求出C点坐标，代入抛物线方程即可；
（2）先求出直线AC解析式，再用t表示出PN代入面积公式计算即可；
（3）依次求出直线AE的解析式为y=-x-2，直线WG的解析式为y=3x-8，直线KH的解析式为y=-2x+3，直线AV的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，即可．

解答 解：（1）令y=0，则ax²-3ax-10a=0，
即a（x+2）（x-5）=0，
∴x₁=-2，x₂=5，
∴A（-2，0），B（5，0），
∴OB=5，
∵OB=OC，
∴OC=5，
∴C（0，-5），
∴-5=-10a，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）如图1，

由（1）可知知抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5，
设直线AC的解析式为：y=k₁x+b，把A、C两点坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-2{k}_{1}+b}\\{b=-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{5}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{5}{2}$x-5，
∵点P的横坐标为t，则P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-5），
过点P作PN∥x轴交AC于点N，过点A作AJ⊥PN于J，
把y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5，代入直线AC解析式y=-$\frac{5}{2}$x-5中，
解得x_N=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{3}{5}$t，
∴N（-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{3}{5}$t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-5），
∴PN=t-（-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{3}{5}$t）=$\frac{1}{5}$t²+$\frac{2}{5}$t，
S=S_△ANP+S_△CNP=$\frac{1}{2}$PN×AJ+$\frac{1}{2}$PN×AI
=$\frac{1}{2}$PN×OI+$\frac{1}{2}$PN×CI
=$\frac{1}{2}$PN（OI+CI）
=$\frac{1}{2}$PN×OC
=$\frac{1}{2}$t²+t，
（3）由y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-5=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{8}$，
得抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{49}{8}$），
∵$\frac{PD}{FD}=\frac{5}{8}$，
∴设DP=5n，DF=8n，
∵DE=EP=5n，
过点E作EM⊥l于点M，则DM=FM=$\frac{1}{2}$DF=4n，
∴在Rt△DME中，EM=3n，
∴点P的横坐标为5n+$\frac{3}{2}$，点E横坐标为3n+$\frac{3}{2}$，
∴y_P=$\frac{1}{2}$（5n+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{8}$=$\frac{25}{2}$n²-$\frac{49}{8}$，
y_E=$\frac{1}{2}$（3n+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{49}{8}$=$\frac{9}{2}$n²-$\frac{49}{8}$
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{2}$n²-$\frac{49}{8}$），M（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$n²-$\frac{49}{8}$），
∴DM=$\frac{25}{2}$n²-$\frac{49}{8}$-（$\frac{9}{2}$n²-$\frac{49}{8}$）=8n²，
∴8n²=4n，
∴n=$\frac{1}{2}$，
∴E（3，-5），
∵A（-2，0），E（3，-5），
∴直线AE的解析式为y=-x-2，
令x=$\frac{3}{2}$，则y=-x-2=-$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{7}{2}$，
∴G（$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$），
∵直线y=kx-$\frac{8}{3}$k（k≠0）恰好经过点G，
∴-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$k-$\frac{8}{3}$k，
∴k=3，
∴直线WG的解析式为y=3x-8，
如图2，

点A关于HK的对称点A′（m，3m-8），
∵A（-2，0），H（$\frac{3}{2}$，0），
∴AH=$\frac{7}{2}$，
∵HS垂直平分AA′，
∴A′H=AH=$\frac{7}{2}$，
过A′作A′R⊥x轴于R，
在Rt△A′HR中，A′R²+HR²=A′H²，
∴（3m-8）²+（m-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{49}{4}$，
∴m₁=$\frac{3}{2}$（舍），m₂=$\frac{18}{5}$，
∴A′（$\frac{18}{5}$，$\frac{14}{5}$），
∴tan∠A′AR=$\frac{A′R}{AR}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠HAS+∠AHS=∠OKH+∠AHS=90°，
∴tan∠OKH=tan∠A′AR=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠OKH=$\frac{OH}{OK}$=$\frac{1}{2}$，
∴OK=3，
∴K（0，3），
∴直线KH的解析式为y=-2x+3，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=3x-8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{5}}\\{y=-\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，
∴V（$\frac{11}{5}$，-$\frac{7}{5}$），
∵A（-2，0），
∴直线AV的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
设Q（s，$\frac{1}{2}$s²-$\frac{3}{2}$s-5），代入y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{2}{3}$中，
$\frac{1}{2}$s²-$\frac{3}{2}$s-5=-$\frac{1}{3}$s-$\frac{2}{3}$，
∴s₁=-2（舍），s₂=$\frac{13}{3}$，
∴Q（$\frac{13}{3}$，-$\frac{19}{9}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，图形面积的计算，解本题的关键是确定确定出直线解析式．