Question

已知如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦O₁C交AB于D，交⊙O₁于E．
求证：（l）O₁A²=O₁D•O₁C；　 （2）BE平分∠ABC．

Answer 1

证明：（1）∵0₁A=O₁B，
∴∠ACO₁=∠BCO₁，
∵∠O₁AB=∠O₁CB，
∴∠O₁AB=∠O₁CA，
∵∠AO₁C=∠DO₁A，
∴△AO₁C∽△DO₁A，
∴，
∴O₁A²=O₁D•O₁C；

（2）∵∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，
又∵∠AO₁D=180°-∠ADO₁-∠O₁AB，∠ABC=180°-∠CDB-∠O₁CB，
∴∠AO₁D=∠ABC，
∵∠AO₁D=2∠ABE，
∴∠ABC=2∠ABE，
∴BE平分∠ABC．
分析：（1）由0₁A=O₁B，根据等弧所对的圆周角相等，即可求得∠O₁AB=∠O₁CA，又由∠AO₁C=∠DO₁A，则可证得△AO₁C∽△DO₁A，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得O₁A²=O₁D•O₁C；
（2）由∠ADO₁=∠CDB，∠O₁AB=∠O₁CB，易得∠AO₁D=∠ABC，又由同弧所对的圆周角等于它对圆心角的一半，即可求得∠ABC=2∠ABE，则可得BE平分∠ABC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角与圆心角的性质等知识．此题综合性较强，图形较复杂，但难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．