Question

12．如图①，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（-3，0），点C（1，0），点D（0，1），连AB，AC，BD．
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）如图②，将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，当点D′落在AC上时，求AB′的长；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中点B′的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长BD交AC于M，由SAS证明△AOC≌△BOD，得出对应角相等，即可得出结论；
（Ⅱ）作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋转的性质得出∠BOD=∠B′OD′=90°，OB=OB′，由矩形的性质得出OF=AE，求出点B（-3，0），得出OB=OA=OB′，证出AE=EB′，由勾股定理得出AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，由三角形的面积求出OF=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，得出AB'=2AE=2OF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$即可；
（Ⅲ）由待定系数法求出直线AC的解析式为y=-3x+3，得出直线OE的解析式为y=-3x，直线AB'的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y=\frac{1}{3}x+3}\end{array}\right.$得出点E的坐标，设B'（a，b），由中点坐标公式即可得出答案．

解答 （Ⅰ）证明：延长BD交AC于M，如图①所示：
∵点A（0，3），点B（-3，0），点C（1，0），点D（0，1），
∴OA=OB=3，OC=OD=1，
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}&{\;}\\{∠AOC=∠BOD}&{\;}\\{OC=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠OBD+∠ACO=90°，
∴∠BMC=90°，
∴BD⊥AC；

（Ⅱ）解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如图②所示：
∵将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，∠BOD=90°，
∴∠B′OD′=90°，OB=OB′，
∴四边形OFAE是矩形，
∴OF=AE，
∵点A（0，3），点B（-3，0），
∴OB=OA=OB′，
∵OE⊥AB′，
∴AE=EB′，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由三角形的面积得：AC•OF=OA•OC，
∴OF=$\frac{OA•OC}{AC}$=$\frac{3×1}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴AB'=2AE=2OF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；

（Ⅲ）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-3x+3，
∵OE∥AC，AB'⊥AC，
∴直线OE的解析式为y=-3x，直线AB'的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{y=\frac{1}{3}x+3}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{10}}\\{y=\frac{27}{10}}\end{array}\right.$，
即E（-$\frac{9}{10}$，$\frac{27}{10}$），
设B'（a，b），由中点坐标公式得：$\frac{a+0}{2}$=-$\frac{9}{10}$，$\frac{b+3}{2}=\frac{27}{10}$，
解得：a=-$\frac{9}{5}$，b=$\frac{12}{5}$，
∴B'（-$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算方法、一次函数解析式的求法、两条直线的位置关系等知识；本题综合性强，有一定难度．