Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若BC=2．求阴影部分的面积．（结果保留π的形式）

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质,圆周角定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）接BD、OD，求出∠ABD=∠AED=45°，根据DC∥AB，推出∠CDB=45°，求出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO、OD，分别求出△AOD、扇形DOB、平行四边形ABCD的面积，相减即可求出答案．

解答：（1）解：CD与⊙O的位置关系是相切．
理由是：连接BD、OD，
∵∠AED=45°，
∴∠ABD=∠AED=45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB=45°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODC=45°+45°=90°，
∵OD为半径，
∴CD与⊙O的位置关系是相切；

（2）解：∵AB∥CD，∠ODC=90°，
∴∠DOB=90°=∠DOA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，
在△AOD中，由勾股定理得：2AO²=2²，
AO=OD=OB=

2

，
∵S_△AOD=

1

2

OA×OD=

1

2

×

2

×

2

=1，
S_扇形BOD=

60π×( 2 )2

360

=

2

3

π，
S_{平行四边形ABCD}=AB×DO=2

2

×

2

=4，
∴阴影部分的面积是：4-1-

2

3

π=3-

2

3

π．

点评：本题考查了切线的判定，扇形、三角形的面积，平行四边形性质的应用，解（1）的关键是求出∠ODC的度数，解（2）的关键是求出△AOD、扇形DOB和平行四边形的面积．