Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，由于抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c．
（2）要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．
解答：解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，
得：，
解之得，
∴所求抛物线的表达式为y=x²-x-1．

（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P₁，P₂．
而当x=4时，y=；
当x=-4时，y=7，
此时P₁（4，）、P₂（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P₃．
而且当x=2时y=-1，此时P₃（2，-1），
综上，满足条件的P为P₁（4，）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．
点评：本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．