Question

12．如图，已知点A（m，n）、点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，∠OAB=90°，AO=AB，求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=m，BG=AE=n，从而求得B（m+n，n-m），根据k=mn=（m+n）（n-m），即可求得$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAG=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠GAB，
在△AOE和△BAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠GAB}\\{∠AOE=∠AGB=90°}\\{AO=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAG（AAS），
∴OE=AG，AE=BG，
∵点A（m，n），
∴AG=m，BG=n，
∴B（m+n，n-m），
∴k=mn=（m+n）（n-m），
∴m²+mn-n²=0，
∴m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}n$，
∴m+n＞0，n-m＞0，
∴m=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$n，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．