Question

3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出$\frac{DE}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠ADC=90°，由角的互余关系整除∠ADE=∠DCF，即可得出△ADE∽△DCF；
（2）在AD的延长线上取点M，使CM=CF，由等腰三角形的性质得出∠CMF=∠CFM．由平行四边形的性质得出∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，证出∠BEG+∠FCB=180°，得出∠AED=∠FCB，因此∠CMF=∠AED．证明△ADE∽△DCM，得出对应边成比例$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，即可得出结论；
（3）连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，由勾股定理求出BD，由SSS证明△ABD≌△CBD，得出∠ABD=∠CBD，由等腰三角形的性质得出AM=CM，∠AMD=90°=∠BAD，证明△ABD∽△MAD，得出对应边成比例求出DM，由勾股定理求出AM，由△ACD的面积求出CN，证明△ADE∽△NCF，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDG=90°，
又∵DE⊥CF，∠CDG+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF．
（2）解：当∠B+∠EGC=180°时，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立，理由如下：
在AD的延长线上取点M，使CM=CF，如图1所示：
则∠CMF=∠CFM．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A=∠CDM，∠FCB=∠CFM，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠BEG+∠FCB=360°-（∠B+∠EGC）=180°，
又∵∠BEG+∠AED=180°，
∴∠AED=∠FCB，
∴∠CMF=∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$；
（3）解：$\frac{DE}{CF}=\frac{25}{24}$；理由如下：
连接AC、BD，交于点M，作CN⊥AD于N，如图2所示：
∵∠BAD=90°，AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{DA=DC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC，AM=CM，
∴∠AMD=90°=∠BAD，
又∵∠ADB=∠MDA，
∴△ABD∽△MAD，
∴AD：DM=BD：AD，
∴AD²=BD•DM，即8²=10DM，
∴DM=6.4，
∴AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-6．{4}^{2}}$=4.8，
∴AC=2AM=9.6，
∵△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•CN=$\frac{1}{2}$AC•DM，
∴8×CN=9.6×6.4，
解得：CN=7.68，
∵DE⊥CF，
∴∠CFN=∠DAE，
∵CN⊥AD，
∴∠CNF=90°=∠DAE，
∴△ADE∽△NCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CN}$=$\frac{8}{7.68}$=$\frac{25}{24}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．