Question

20．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（-1，-5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后用割补法得到△ADC的面积是关于m的二次函数，运用二次函数的最值性就可解决问题；
（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，根据切线的性质可得MF⊥EN．易得M的坐标、ME、MF、EF的长，易证△MEF∽△NEM，根据相似三角形的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．

解答 解：（1）如图1，
由题可得：
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．
设直线AC的解析式为y=kx+t，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+t=0}\\{t=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{t=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH=-$\frac{1}{4}$^_m2-$\frac{1}{2}$m+2，GH=$\frac{1}{2}$m+2，
∴DG=-$\frac{1}{4}$^_m2-$\frac{1}{2}$m+2-$\frac{1}{2}$m-2=-$\frac{1}{4}$^_m2-m，
∴S_△ADC=S_△ADG+S_△CDG
=$\frac{1}{2}$DG•AH+$\frac{1}{2}$DG•OH=$\frac{1}{2}$DG•AO=2DG
=-$\frac{1}{2}$m²-2m=-$\frac{1}{2}$（m²+4m）
=-$\frac{1}{2}$（m²+4m+4-4）
=-$\frac{1}{2}$[（m+2）²-4]
=-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2．
∴当m=-2时，S_△ADC取到最大值2．
此时y_D=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{1}{2}$×（-2）+2=2，
即点D的坐标为（-2，2）；

（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，
则有MF⊥EN．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴AB=6，MF=MB=MA=3，
∴点M的坐标为（-4+3，0）即M（-1，0）．
∵E（-1，-5），∴ME=5，∠EMN=90°．
在Rt△MFE中，EF=$\sqrt{M{E}^{2}-M{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，
∴△MEF∽△NEM，
∴$\frac{MF}{NM}$=$\frac{EF}{EM}$，
∴$\frac{3}{NM}$=$\frac{4}{5}$，
∴NM=$\frac{15}{4}$，
∴点N的坐标为（-1+$\frac{15}{4}$，0）即（$\frac{11}{4}$，0）或（-1-$\frac{15}{4}$，0）即（-$\frac{19}{4}$，0）．
设直线EN的解析式为y=px+q．
①当点N的坐标为（$\frac{11}{4}$，0）时，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{11p}{4}+q=0}\\{-p+q=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{4}{3}}\\{q=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线EN的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{11}{3}$．
②当点N的坐标为（-$\frac{19}{4}$，0）时，
同理可得：直线EN的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
综上所述：所求直线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{11}{3}$或y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{19}{3}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、运用割补法求面积，二次函数的最值性、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，当直接求一个图形面积比较困难时，通常可考虑采用割补法，另外，过圆外一点作圆的切线有两条，不能遗漏．