Question

12．已知，A（0，a）、B（b，0），a，b满足a²+2ab+b²+（b+3）³=0，D为x轴上B的左边的一动点，连接AD，作AE⊥AD交x轴于F，且AE=AD交x轴于F，连BE交y轴于P
（1）如图1，求∠ABO的度数．
（2）如图1，若BO=3OP，求E点坐标．
（3）如图2，M在OB上，若∠ADO=∠MAB=30°，求$\frac{BM}{BD}$．

Answer 1

分析 （1）先求出a，b进而得出点A，B坐标，即可得出OA=OB即可；
（2）先判断出点E的横坐标为3，再点P的坐标，进而确定出点E在直线BP上，即可得出点E坐标；
（3）先求出MN，进而求出BM，再求出BD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵a²+2ab+b²+（b+3）³=0，
∴（a+b）²+（b+3）³=0，
∴a=3，b=-3，
∴A（0，3），B（-3，0）．
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
（2）如图1，在OF的延长线取一点G使，OG=OB=3，
连接EG，
∴∠AGB=∠ABG=45°，
∴∠BAG=90°，
∵∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠GAE，
在△ABD和△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠BAD=∠GAF}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AGE，
∴∠AGE=∠ABD=135°，
∵∠AGB=45°，
∴∠EGB=90°，
∴点E的横坐标为3，
∵OB=3，
∴OP=1，
∴P（0，-1），
∴直线BP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-1，
∴E（3，-2），
（3）如图2，过点M作MN⊥AB于N，
在Rt△AMN中，∠MAB=30°，
∴AN=$\sqrt{3}$MN，
在Rt△BMN中，∠ABM=45°，BN=MN，BM=$\sqrt{2}$MN，
在Rt△AOB中，AB=3$\sqrt{2}$，
∴AN+BN=$\sqrt{3}$MN+MN=3$\sqrt{2}$，
∴MN=$\frac{3\sqrt{2}（\sqrt{3}-1）}{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$MN=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}（\sqrt{3}-1）}{2}$=3（$\sqrt{3}$-1）；
在Rt△AOB中，∠ADO=30°，OA=3，
∴OD=3$\sqrt{3}$，
∴BD=OD-OB=3$\sqrt{3}$-3=3（$\sqrt{3}$-1），
∴$\frac{BM}{BD}=\frac{3（\sqrt{3}-1）}{3（\sqrt{3}-1）}$=1．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，待定系数法，解本题的关键是判断出点E的横坐标．