Question

9．已知（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$的两组解，求下列各式的值：
（1）|x₁-x₂|；
（2）$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）把①代入②得出9x²+16x+6=0，根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{6}{9}$，根据完全平方公式求出即可；
（2）把方程组转化成方程9y²+4y-4=0，根据根与系数的关系得出y₁+y₂=-$\frac{4}{9}$，y₁•y₂=-$\frac{4}{9}$，根据完全平方公式求出（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=$\frac{160}{81}$，（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=$\frac{40}{81}$，代入求出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2①}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1②}\end{array}\right.$
把①代入②得：$\frac{{x}^{2}}{2}$+（-2x-2）²=1，
即9x²+16x+6=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{6}{9}$，
所以|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-x{{\;}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{16}{9}）^{2}-4×\frac{6}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$；

（2）由①得：x=$\frac{-y-2}{2}$③，
把③代入②得：$\frac{（\frac{-y-2}{2}）^{2}}{2}$+y²=1，
即9y²+4y-4=0，
y₁+y₂=-$\frac{4}{9}$，y₁•y₂=-$\frac{4}{9}$，
所以（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=（-$\frac{4}{9}$）²-4×（-$\frac{4}{9}$）=$\frac{160}{81}$，
∵x₁+x₂=-$\frac{16}{9}$，x₁•x₂=$\frac{6}{9}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-$\frac{16}{9}$）²-4×$\frac{6}{9}$=$\frac{40}{81}$，
∴$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{40}{81}+\frac{160}{81}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查饿高次方程，根与系数关系，完全平方公式的应用，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键．