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顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．如图，矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），（1）、（2）、（3）是三种不同内接菱形的方式．
①图（1）中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
②图（2）中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
③图（3）中，若EF垂直平分对角线AC，交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）在图（1）、（2）、（3）中，证明图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的；
（3）比较（1）、（2）中矩形ABCD的内接菱形ABGH与EFGH的面积大小；
（4）在矩形ABCD中，你还能画出第4种矩形内接菱形吗？若能，请在（4）中画出；若不能，则说明理由．

解：（1）①∵AH=BG，AH∥BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形，
即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
②连接AC、BD，则EF= $\text{[math]}$ AC，EF∥AC；GH= $\text{[math]}$ AC，GH∥AC
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵BD=AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF垂直平分对角线AC，
∴FA=FC
∴平行四边形AECF是菱形，
即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．

（2）∵S_菱形ABGH=a²＜a•AE=S_菱形AECF
S_菱形EFGH= $\text{[math]}$ EG•FH＜ $\text{[math]}$ AC•FE=S_菱形AECF，
∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．

（3）∵S_菱形ABGH=a²，S_菱形EFGH= $\text{[math]}$ EG•FH= $\text{[math]}$ ab
当a $\text{[math]}$ b时，S_菱形ABGH＞S_菱形EFGH；

当a= $\text{[math]}$ b时，S_菱形ABGH=S_菱形EFGH；
当a $\text{[math]}$ b时，S_菱形ABGH＜S_菱形EFGH．

（4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形
（答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．
分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明，
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等，
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；
（3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论；
（4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
点评：本题综合性较强，主要考查菱形的判定和面积，对学生要求较高，需要在平时的学习中不断努力．

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①图（1）中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
②图（2）中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
③图（3）中，若EF垂直平分对角线AC，交BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）在图（1）、（2）、（3）中，证明图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的；
（3）比较（1）、（2）中矩形ABCD的内接菱形ABGH与EFGH的面积大小；
（4）在矩形ABCD中，你还能画出第4种矩形内接菱形吗？若能，请在（4）中画出；若不能，则说明理由．

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科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•高安市二模）如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：
命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
请解决下列问题：
（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．
（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．

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如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH＝BG＝AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.

请解决下列问题：

1.命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；

2.画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）.

3.试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系

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科目：初中数学 来源：2012届江西宜春高安市中考二模数学试卷（带解析） 题型：解答题

如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH＝BG＝AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
请解决下列问题：
【小题1】命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
【小题2】画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）.
【小题3】试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系

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如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB＝a，BC＝b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：

命题（Ⅰ）：图①中，若AH＝BG＝AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；

命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.

请解决下列问题：

1.命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；

2.画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）.

3.试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系

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