Question

9．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S_△CEF=S_△ABE，其中正确的有①②③．

Answer 1

分析 通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S_△CEF和S_△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正确）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正确），
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC=x，由勾股定理，得$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{6}x+\sqrt{2}x}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$，
∴BE=AB-x=$\frac{\sqrt{3}x-x}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x，（故④错误），
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△ABE=$\frac{1}{4}$x²，
∴2S_△ABE=S_△CEF，（故⑤错误）．
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．