Question

12．已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点．连接EG，CG．
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EC，CG的长；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG，延长CG至M，使GM=GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠BEF=∠AEF=∠BCA=90°，由△ABC是等腰直角三角形，推出△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到BF=2$\sqrt{2}$，根据直角三角形的性质得到EG=CG，解直角三角形得到CF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，如图①，过E作EH⊥BF，连接CE，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图②连接MF，根据全等三角形的性质得到∠FMC=∠ACM，MF=CA，根据平行线的性质得到∠MFE=∠BEF=90°，等量代换得到BC=MF，根据全等三角形的性质得到CE=ME，∠FEM=∠BEC，于是得到结论；
（3）如图③，过F作FM∥AC交CG的延长线于M，连接CE，EM，过B作BN∥FM交ME于N，交EF于O，过F作FH⊥BN于H，根据平行线的性质得到∠FMG=∠ACG，由全等三角形的性质得到AC=FM，CG=MG，等量代换得到FM=BC，根据平行线的性质得到∠CBN=∠ACB=∠MFH=90°，根据全等三角形的性质得到CE=EM，∠BEC=∠FEM，推出△CEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠BEF=∠AEF=∠BCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=2，
∴BF=2$\sqrt{2}$，
∵G为AF中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AF，CG=$\frac{1}{2}$AF，
∴EG=CG，
∴EG=GF=GC=2，
∵∠BAF=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$EF=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2+2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴CF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
如图①，过E作EH⊥BF，连接CE，
则EH=HF=$\frac{1}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$；

（2）如图②连接MF，
∵△BEF绕B点逆时针旋转45°，
∴∠EBC=90°，
∴EF∥BC，BE∥AC，
在△ACG与△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{∠AGC=∠FGM}\\{CG=MG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△FMG，
∴∠FMC=∠ACM，MF=CA，
∴MF∥AC，
∴MF∥BE，
∴∠MFE=∠BEF=90°，
∴BC=MF，
在△BCE与△FME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠EBC=∠EFM=90°}\\{BC=FM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FME，
∴CE=ME，∠FEM=∠BEC，
∵∠BEC+∠CEF=90°，
∴∠MEF+∠CEF=90°，
∴∠CEM=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形；

（3）EG=CG，EG⊥CG，
理由：如图③，过F作FM∥AC交CG的延长线于M，连接CE，EM，
过B作BN∥FM交ME于N，交EF于O，过F作FH⊥BN于H，
∵FM∥AC，
∴∠FMG=∠ACG，
在△ACG与△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠FMG}\\{∠AGC=∠FGM}\\{AG=FG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△FMG，
∴AC=FM，CG=MG，
∴FM=BC，
∵∠BEO=∠FHO=90°，∠BOE=∠FOH，
∴∠HFO=∠EBO，
∵BN∥FM∥AC，
∴∠CBN=∠ACB=∠MFH=90°，
∴∠EBC=∠EFM，
在△BCE与△FME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠CBE=∠MFE}\\{BC=FM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FME，
∴CE=EM，∠BEC=∠FEM，
∵∠BEC+∠CEF=90°，
∴∠MEF+∠CEF=90°，
∴∠CEM=90°，
∴△CEM是等腰直角三角形，
∴EG=CG，EG⊥CG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解题的关键．