Question

8．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，两直角边AC、BC的长度之比为3：5，
（1）求AD：BD的值；
（2）若AB=34cm，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，设AC=3x、BC=5x，可得AB=$\sqrt{34}$x，证△ACD∽△ABC得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，从而表示出AD=$\frac{9\sqrt{34}}{34}$x，继而得出BD=$\frac{25\sqrt{34}}{34}$x，即可得出答案；
（2）由AB=$\sqrt{34}$x=34得x=$\sqrt{34}$，从而得出AD、AC的长，从而求得CD的值．

解答 解：（1）∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=3x，BC=5x，
则AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（3x）^{2}+（5x）^{2}}$=$\sqrt{34}$x，
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{3x}$=$\frac{3x}{\sqrt{34}x}$，
则AD=$\frac{9\sqrt{34}}{34}$x，
∴BD=AB-AD=$\sqrt{34}$x-$\frac{9\sqrt{34}}{34}$x=$\frac{25\sqrt{34}}{34}$x，
则$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{9\sqrt{34}}{34}x}{\frac{25\sqrt{34}}{34}x}$=$\frac{9}{25}$；

（2）由（1）知AB=$\sqrt{34}$x=34，
则x=$\sqrt{34}$，
∴AD=$\frac{9\sqrt{34}}{34}$x=9，AC=3x=3$\sqrt{34}$，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{34}）^{2}-{9}^{2}}$=15（cm）．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．