Question

【题目】如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线AB交于点A（2，3），直线AB与x轴交于点B（4，0），过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是______．

Answer 1

【答案】（2，）或（2，）或（6，-）

【解析】

先将A点的坐标代入反比例函数求得k的值，然后将x=4代入反比例函数解析式求得相应的y的值，即得点C的坐标；然后结合图象分类讨论以A、B、C、D为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的D的坐标即可．

解：把点A（2，3）代入y=（x＞0）得：k=xy=6，

故该反比例函数解析式为：y=．

∵点B（4，0），BC⊥x轴，

∴把x=4代入反比例函数y=，得

y=．

则C（4，）．

①如图，当四边形ACBD为平行四边形时，AD∥BC且AD=BC．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴点D的横坐标为2，yA-yD=yC-yB，故yD=．

所以D（2，）．

②如图，当四边形ABCD′为平行四边形时，AD′∥CB且AD′=CB．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴点D的横坐标为2，yD′-yA=yC-yB，故yD′=．

所以D′（2，）．

③如图，当四边形ABD″C为平行四边形时，AC=BD″且AC∥BD″．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴xD″-xB=xC-xA即xD″-4=4-2，故xD″=6．

yD″-yB=yC-yA即yD″-0=-3，故yD″=-．

所以D″（6，-）．

综上所述，符合条件的点D的坐标是：（2，）或（2，）或（6，-）．

故答案为（2，）或（2，）或（6，-）．