Question

我们在小学学过：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，并且对边互相平行．将正方形ABCD的四个顶点分别放在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0），如图．
（1）求证：h₁=h₃；
（2）设正方形ABCD的面积为S，小明写出了等式：S=（h₃+h₂）²+h₁²，请你判断是否正确，并说明理由；
（3）若

3

2

h₁+h₂=1，当h₁变化时，正方形ABCD的面积S随h₁的变化而变化．试求出S与h₁之间的函数关系式，并写出自变量h₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，四边形EFGH是边长为h₂的正方形，所以S=4×

1

2

h1（h1+h2）+h22=2h12+2h1h2+h22=（h1+h 2）2+h12．
（3）根据题意用h₂关于h₁的表达式代入S，即可求出h₁取何范围．

解答：（1）证明：过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，
∵四边形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
△AEB和△CGD中，

∠ABE=∠CDG ∠AEB=∠CGD AB=CD

∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，
（2）正确
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，
∴四边形EFGH是边长为h₂的正方形，
∴S=4×

1

2

h1（h1+h2）+h22=2h12+2h1h2+h22=（h1+h 2）2+h12，
（3）由题意，得
h2=1-

3

2

h1，
S=（h1+1-

3

2

h1）2+h12
=

5

4

h12-h1+1
=

5

4

（h1-

2

5

）2+

4

5

∵

h1＞0 1- 3 2 h1＞0

解得0＜h₁＜

2

3

，
∴当0＜h₁＜

2

5

时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=

2

5

时，S取得最小值

4

5

当

2

5

＜h₁＜

2

3

时，S随h₁的增大而增大．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可．