如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE.求证:EC=ED.
证法一:延长BD到F,使DF=BC,连结EF,如图2.则BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF为等边三角形,从而可证△BCE≌△FDE,所以EC=ED. 证法二:过E作EF∥AC,交BD的延长线于F,如图2,则△BEF为等边三角形,以下同证法一. 证法三:在AE上截取EF=BC,如图3.则AF=CD,故AC∥DF,从而△BDF是等边三角形,DF=BF=AE,可证△ACE≌△FED,所以EC=ED. 证法四:过D作DF∥AC交AE于F点,如图3,以下同证法三. 证法五:作EF∥BC交CA的延长线于F,如图4.则△AEF是等边三角形,从而可证 △CEF≌△EDB,所以EC=ED. 证法六:作DF∥AB交AC的延长线于F,连结EF,如图5.则△CDF是等边三角形,故AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,从而∠AEF=∠AFE=30°,∠DFE=30°,即EF是等腰△CFD的顶角平分线,所以EF垂直平分CD,由此得EC=ED. 证法七:作EF⊥BD,垂足为F,如图6.则∠BEF=30°,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,从而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF为CD的垂直平分线,所以有CE=ED. |
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